半圆弧和弦的区别，圆弧和半圆弧

一。知识体系

二。知识概念

1圆由平面上某一固定点距固定距离的所有点组成的形状称为圆。固定点称为圆心，固定长度称为半径。

二弦圆上两点之间的部分称为圆弧，简称圆弧。大于半圆的弧称为长弧，小于半圆的弧称为短弧。连接圆上两点的线段称为弦。通过圆心的弦称为直径。

3圆心角和圆周角顶点在圆心的角称为圆心角。顶点在圆上且两条边与圆有另一个交点的角称为圆周角。

4、线中心距圆心到直线的距离称为线中心距。

5、内心和外心经过三角形三个顶点的圆称为三角形的外接圆，其中心称为三角形的外心。与三角形所有三个边都相交的圆称为内切圆，中心称为内切圆。

6、扇形圆上由两个半径和一段圆弧围成的形状称为扇形。

7圆锥体的侧面是扇形的。该扇形的半径称为圆锥体的母线。

第三、第四定理在同一圆或同一个圆内，同一圆弧相对的弦、弦中心距、圆心角和周向角也相等。也就是说，这个定理也称为1-3定理。以上四个结论中，据我们所知，如果其中一个相同，则可以得出其余三个结论。

即AOB=DOE；AB=DE；

OC=OF；弧AB=弧BD

四角定理

1、圆周角定理圆相对于同一圆弧的角度等于相对于圆心的角度的一半。

即AOB和ACB分别为圆弧AB对应的圆心角和周向角。

AOB=2AOC

2.圆角定理的推论

结论一同一弧或同一弧对应的圆周角相等。同一圆或同一圆内同一圆周角对应的弧相等。

即在O中，C和D是对应的周向角。

C=D

推论2半圆或其直径对应的圆周角是直角。直角对应的弧是半圆，对应的弦是直径。

即在O中，AB为直径或C=90。

C=90AB为直径。

推论3如果三角形的一条边的中心线等于该边的一半，则该三角形是直角三角形。

即在ABC中，OA=OB=OC。

ABC是直角三角形或C=90。

注意这个推理实际上是关于2类几何中的矩形的推理。在直角三角形中，斜边的中心线等于斜边的一半，或逆定理。

【真题练习】

1以下哪种说法是正确的？

圆周顶点的角度就是圆周角。圆周角等于圆心角的一半。

周角为90的弦为直径。不在同一条直线上的三点确定一个圆。同一圆弧对应的圆周角相同。

全部。B.cD.

2如图所示，AB为O的直径，CD为O的弦，DAB=48，ACD=<。

五个垂直直径间隙

垂直直径定理垂直于弦的直径平分该弦，并平分该弦对应的弧。

推论1平分弦的直径垂直于弦，并平分与弦相连的两条弧。

弦的垂直平分线穿过圆心并平分与该弦对应的两条弧。

平分该弦对应的圆弧的直径，垂直平分该弦，平分该弦对应的另一条圆弧的直径。

上面一共有四个定理，称为2到3定理。如果你知道这个定理的五个结论中的两个，你就可以推导出剩下的三个。

AB为直径ABCDCE=DE

BC号BD号AC号AD号

方程中的两个条件可以得出三个不同的结论。

推论2圆的两条平行弦之间的弧相等。

即在中，ABrrCD

弧AC=弧BD

1如图所示，AB为O的直径，弦CDAB，竖脚为M。下面的结论不一定正确。

ACM=DMB圆弧AC=圆弧ADCAD=2BDDBCD=BDC

2兴龙蔬菜基地建设的弧形蔬菜大棚横截面积如图所示，已知AB=16m。

半径OA=10m，高度CD为m。

3如图所示，AB在O弦处，COAB在该点，若AB=8cm，

若OC=3cm，则O的半径为cm。

一个正方形有六个内切圆

圆的内切变换定理圆的内切变换的对角互补，外角等于相反的内角。

也就是说，在O中，

矩形ABCD是内接四边形

C+BAD=180B+D=180

DAE=C

7种与圆有关的位置关系

点与圆的位置关系

1.点在圆内。dlt;r该点在圆内。

2.点在圆d-r上。点在圆上。

3.点在圆外。dgt;r该点在圆之外。

直线和圆的位置关系

1、直线和圆以dgt;r分隔，没有交点。

2.直线与圆相交有交点d=r。

3、直线和圆的交点dlt;r有两个交点。

圆之间的位置关系

外里没有十字路口。

包皮环切术有其交叉点。

路口有两个路口。

雕刻的部分有交叉点。

没有交集。

1O的半径为3cm，直线l上有一点P，已知OP=3cm，则直线l与O的位置关系如下。

全部。交叉路口B.C.相切D.相交或相切

2如图所示，直角坐标系中圆O的半径为1，直线y=-x+2与圆O的位置关系如下。

全部。分开B叉

种子。切线D。以上三种情况都是可能的。

已知3O的半径为3，圆心O与直线AB的距离为3，直线AB与O的位置关系为4。两个圆的半径分别为3和4，圆心距离为7，所以两个圆是

全部。执行B.交叉c.远离D.切入

八条切线的性质及判定定理

切线定理的确定穿过半径外端并垂直于半径的直线是切线。

需要两个条件穿过半径外端和垂直于半径。

即，MNOA和MN穿过半径OA的外端。

MN是O的正切

性质定理切线垂直于经过切点的半径。

定理1通过圆心并垂直于圆切线的直线一定通过切点。

推论2通过切线垂直于切线的直线一定经过圆心。

上述三个定理及其推论也称为2比1定理。

换句话说，如果知道三个条件中的两个通过圆心，通过切线，，就可以推导出最后一个条件。

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9.切线长度定理

切线长度定理从圆外一点到圆的两条切线具有相同的切线长度。连接该点与圆心的线平分两条切线之间的角度。

即PA和PB是两条切线。

PA=PB

PO平分BPA。

1如图所示，AB为O的直径，BD为O的弦。将BD延伸至点并连接，使得DC=BD，并通过D点画DEAC成为垂直。脚是E。

证明AB=AC；

证明DE是O的正切。

求当O的半径为5、BAC=60时DE的长度。

2如图所示，ABC是直角三角形，ABC=90，直径与AC交于E点，故D点连接DE与边BC中点，故ABC=90。

证明DE与O相切；

若O的半径为DE=3，求AE。

3如图所示，O的直径为AB=4，ABC=30，BC=4，D为线段BC的中点，

确定D点和O点的位置关系并解释原因。

过D点作DEBC，其垂脚为E点。请注意，线DE与O相切。

4如图所示，A、B点在直线MN上，AB=11cm，A、B的半径均为1cm。当A以每秒2厘米的速度从左向右移动时，B的半径增大。r与时间t的关系为r=1+t。

写出A点和B点之间的距离d与时间t之间的函数方程。

从A点开始多少秒后两个圆相接触？

10圆幂定理

1相交弦定理如果圆中的两条弦相交，则除以两条线段的交点所得的值相等。

即在O中，弦AB和CD相交于点P，

PAPB=PCPD

2结果如果弦与直径垂直相交，则弦的一半是两段比值除以直径的中值。

即在O，直径ABCD中，

CE2=AEBE

3.割线定理圆的切线和割线是从圆外一点引出的。切线的长度是从该点到交点的两条线段的长度比的中项。割线和初衷。

即，在O中，PA是切线，PB是割线。

PA2=PCPB

4、割线定理如果从圆外一点画圆的两条割线，则从该点到每条割线与圆的交点的两条线段的长度的乘积相等。

即，在O中，PB和PE是割线。

PCPB=PDPE

11.圆内正多边形的计算

1个等边三角形

O中，ABC为等边三角形，对RtBOD进行相关计算。

正方形

同理，在RtAOE中进行四边形相关计算。

六边形

同样，在RtAOB中也进行六边形相关的计算。

12扇形、圆柱体、圆锥体的相关计算公式

1、扇形弧长公式l=nR/180；

扇形面积公式S=nR/360

n圆心角R扇形对应的圆半径l扇形弧长S扇形面积

2、气缸

气缸侧视图

展开锥体的侧视图

1如图所示，将半径为9厘米的圆形纸剪出周长的1/3，用圆锥体围住剩余部分，这就是圆锥体的高度。雨

全部。6厘米B.35cmC.8cmD.53cm

2、有一张扇形的纸，圆心角为90，半径为8厘米。用它来准确地创建圆锥体的侧面。那么圆锥底面的圆半径为

全部。4厘米B。3厘米C.2厘米D.1厘米

3若将弧长为12cm、半径为10cm的扇形铁板放入锥形容器中，除去接缝，锥形容器的高度为_____cm。

4如图所示，AB为O的直径，CDAB与O相交于E点，与O相交于D点，OFAC出现于F点。

请写出三个关于BC的正确结论。

当D=30，BC=1时，求圆阴影部分的面积。

5如图所示，AB为O的直径，C点为O，AB=13，BC=5。

求sinBAC的值。

若ODAC，即竖脚为D，求AD的长度。

求图中色部分的面积。

13个圆的移动点和最优值

在平面几何题中，当某个几何元素在给定条件下发生变化时，求某个几何量的最大值或最小值的题称为最优值题。

解决最优性题通常有两种方法。

1应用几何属性。

三角形三边之间的关系两条边之和大于第三条边，两条边之差小于第三条边。

两点之间的最短线段；

连接直线外点和直线上多个点的所有线段中，垂直线最短。

花园中所有绳子中直径最长的。

2使用代数证明

利用组合法求二阶三项式的最大值。

它通常与经济和效率题结合在一起。

利用一变量二次方程根的判别式。

这里只介绍圆的动点与最大值的组合题，同样也会有相似的组合。接下来的两个题实际上是同一类型的题。通常，测试包括以下两种类型

1如图所示，A点为O上直径为MN的半圆的第三等分线，B点为圆弧AN的中点，P点为MN上的移动点，O的半径为3，那么AP+BP的最小值是_________nosee。

解以MN为中心，基于A点构造对称点A'，连接A'B，与MN相交于P点，连接OA'和AA'。

A点和A'点关于MN对称，A点是半圆的第三点，

AON=AON=60,PA=PA,

B点是圆弧AN^的中点，

BON=30，

AOB=AON+BON=90，

且OA=OA=3，

AB=3

两点之间的最短线段，

PA+PB=PA+PB=AB=3

这个题其实是通过和普通人对话寻找最优值，创建对称点，然后连接起来的思路来解决的。这是一个结合了一般喝马题和圆内移动点题的题。

2如图所示，P为半圆直径AB上的移动点，C为半圆的中点，D为圆弧AC的第三点。如果AB=2，则这是距PC的最短距离。+PD是____________。

解设E为C点以AB为中心的对称点，在P处连接DE和AB，此时PC+PD的值最小，PC+PD=PE+PD=DE。

连接OC、OE。

C是半圆的中点，D是圆弧AC的第三点，

圆弧CD的角度为30，CDE=90。

AB=2,

CE=2;

DE=ECcosCED=

即PC+PD的最小值为

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